【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P是圓
上一動點，
x軸于點D.記滿足
的動點M的軌跡為Γ.
(1)求軌跡Γ的方程；
(2)已知直線
與軌跡Γ交于不同兩點A，B，點G是線段AB中點，射線OG交軌跡Γ于點Q，且
.
①證明：
②求△AOB的面積S(λ)的解析式，并計算S(λ)的最大值.
【答案】(1)
；(2)
【解析】
試題(1)由已知M是PD的中點，利用P點在圓上，可以求出M的點軌跡方程為；(2)點Q在(1)中的橢圓上，G是OQ上的分點，利用直線與橢圓的關系，可以找到λ與m和k的關系，并進一步將三角形AOB的面積表示成λ的函數關系式，再求出它的最大值.
試題解析：(1)設
，則點
，且
(1)
∵
∴
(2)
將(2)代入(1)，得
∴軌跡Γ的方程為； 5分
(2)①令
由
消去y
得
6分
∴
，即
(3)
∴
又由中點坐標公式，得
根據
，得
將其代入橢圓方程，有
化簡得：
(4) 9分
②由(3)(4)得
∵
(5)
在△AOB中，
(6)
∴由(4)(5)(6)可得
12分
令
則
(當且僅當t＝1時，即
時取“＝”)
∴當時，
取得最大值，其最大值為1. 13分
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【題目】如圖，幾何體AMDCNB是由兩個完全相同的四棱錐構成的幾何體，這兩個四棱錐的底面ABCD為正方形，
，平面
平面ABCD.
(1)證明:平面
平面MDC.
(2)若
，求二面角
的余弦值.
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【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點.
（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設AA1= AC=CB=2，AB=2
，求三棱錐C一A1DE的體積.
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【題目】某學校1800名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，抽取其中50名學生組成一個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組
，第二組
……，第五組
，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（1）請估計學校1800名學生中，成績屬于第四組的人數；
（2）若成績小于15秒認為良好，求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數；
（3）請根據頻率分布直方圖，求樣本數據的眾數、平均數.
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【題目】某市有一面積為12000平方米的三角形地塊
，其中邊
長為200米，現計劃建一個如圖所示的長方形停車場
，停車場的四個頂點都在
的三條邊上，其余的地面全部綠化.若建停車場的費用為180元/平方米，綠化的費用為60元/平方米，設
米，建設工程的總費用為
元.
（1）求關于
的函數表達式：
（2）求停車場面積最大時的值，并求此時的工程總費用.
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