已知函數
（
為小于
的常數）．
（1）當
時，求函數
的單調區間；
（2）存在
使不等式
成立，求實數的取值范圍．
（1）
的單調遞增區間為
，遞減區間為
和
；（2）
.
解析試題分析：先求出導函數
，（1）將代入得到
，進而由
及
可求出函數的單調增區間與減區間；（2）先將存在使不等式成立等價轉化成
；然后由
，得
或
，進而對分
、
、
三種情況，分別求出函數在
上的最大值， 進而求解不等式得出的取值范圍結合各自的條件求得各種情況下的取值范圍，最后這三種情況的的取值范圍的并集即可.
(1) 當時，
所以由
，由
或
所以的單調遞增區間為，遞減區間為和
(2) ，令，得或
①當時，即
時，在上單調遞增
則
，解得
，所以滿足題意
②當時，即
時在
上單調遞增，
上單調遞減
故
，解得
，所以當時滿足題意
③當時，即
時，在上單調遞減
故
，解得
，所以
時滿足題意
綜上所述.
考點：1.函數的單調性與導數；2.函數的最值與導數；3.不等式存在成立問題；4.分類討論的思想.
金鑰匙試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
(1)當a=1時，求曲線
在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)當a>0時，若f(x)在區間[1，e]上的最小值為-2，求a的值；
(3)若對任意
，且
恒成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常數．
(1)若a≠b，求證：函數f(x)存在極大值和極小值；
(2)設(1)中f(x)取得極大值、極小值時自變量的值分別為x1，x2，設點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直線AB的斜率為－
，求函數f(x)和f′(x)的公共遞減區間的長度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)對于一切x∈R恒成立，求實數m，a，b滿足的條件．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（14分）（2011•天津）已知函數f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當t≠0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
(其中
)，
為f(x)的導函數.
（1）求證：曲線y=
在點(1，
)處的切線不過點(2，0)；
（2）若在區間
中存在
，使得
，求
的取值范圍；
（3）若
，試證明：對任意
，
恒成立.
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.
.
在
時有極值，求實數
的值和
在
上是增函數；
沒有負數根．