Question

（14分）（2011•天津）已知函數f（x）=4x³+3tx²﹣6t²x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當t≠0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．

Answer 1

（Ⅰ）y=﹣6x
（Ⅱ）（1）若t＜0，則＜﹣t，∴f（x）的單調增區間是（﹣∞，），（﹣t，+∞）；f（x）的單調減區間是（，﹣t）
（2）若t＞0，則＞﹣t，∴f（x）的單調增區間是（﹣∞，﹣t），（，+∞）；f（x）的單調減區間是（﹣t，）
（Ⅲ）見解析

解析試題分析：（I）當t=1時，求出函數f（x），利用導數的幾何意義求出x=0處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程；
（II）根據f'（0）=0，解得x=﹣t或x=，討論t的正負，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出單調區間即可；
（III）根據函數的單調性分兩種情況討論，當≥1與當0＜＜1時，研究函數的單調性，然后根據區間端點的符號進行判定對任意t∈（0，2），f（x）在區間（0，1）內均存在零點從而得到結論．
解：（I）當t=1時，f（x）=4x³+3x²﹣6x，f（0）=0
f'（x）=12x²+6x﹣6，f'（0）=﹣6，所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=﹣6x．
（II）解：f'（x）=12x²+6tx﹣6t²，f'（0）=0，解得x=﹣t或x=
∵t≠0，以下分兩種情況討論：
（1）若t＜0，則＜﹣t，∴f（x）的單調增區間是（﹣∞，），（﹣t，+∞）；f（x）的單調減區間是（，﹣t）
（2）若t＞0，則＞﹣t，∴f（x）的單調增區間是（﹣∞，﹣t），（，+∞）；f（x）的單調減區間是（﹣t，）
（III）證明：由（II）可知，當t＞0時，f（x）在（0，）內單調遞減，在（，+∞）內單調遞增，以下分兩種情況討論：
（1）當≥1，即t≥2時，f（x）在（0，1）內單調遞減．
f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t²+4t+3≤﹣13＜0
所以對于任意t∈[2，+∞），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．
（2）當0＜＜1，即0＜t＜2時，f（x）在（0，）內單調遞減，在（，1）內單調遞增
若t∈（0，1]，f（）=+t﹣1≤＜0，
f（1）=）=﹣6t²+4t+3≥﹣2t+3＞0
所以f（x）在（，1）內存在零點．
若t∈（1，2），f（）=+t﹣1＜+1＜0，
f（0）=t﹣1＞0∴f（x）在（0，）內存在零點．
所以，對任意t∈（0，2），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．
綜上，對于任意t∈（0，+∞），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．
點評：本題主要考查了導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性、曲線的切線方程、函數零點、解不等式等基礎知識，考查了計算能力和分類討論的思想．