Question

用總長為14.8米的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制的容器的底面的長比寬多0.5米，那么高為多少時容器的容器最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

容器高為1.2m時容器的容積最大，最大容積為1.8m³.

解析試題分析：令容器底面寬為m,則長為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m，由實際意義可得0<x<1.6，由長方體體積寫出容積的表達式,求導得，進而求得0<x<1時，；1<x<1.6時，，可知當時有最大值，求之得最大容積．
解：設容器底面寬為x m，則長為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m，
由解得0<x<1.6，                                 3分
設容器的容積為y，
則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝                6分
,
令＝0，即,
解得x＝1，或x＝ (舍去)．                              8分
∵0<x<1時，；1<x<1.6時，，
∴在定義域(0,1.6)內x＝1是唯一的極值點，且是極大值點，
∴當x＝1時，y取得最大值為1.8，                             10分
此時容器的高為3.2－2＝1.2m，
因此，容器高為1.2m時容器的容積最大，最大容積為1.8．      12分
考點：利用導數求函數的最值，函數的應用.