Question

已知函數f（x）為R上的減函數，且值域為R，點A（-1，2）和點B（1，1）在f（x）的圖象上，f^-1（x）是它的反函數，則不等式|f^-1（log₂x）|＜1的解集為

（2，4）

．

Answer 1

分析：根據題意可知f（-1）=2，f（1）=1則f^-1（2）=-1，f^-1（1）=1，然后化簡不等式得f^-1（2）=-1＜f^-1（log₂x）＜1=f^-1（1），最后根據反函數的單調性建立關系式，解之即可求出x的范圍．

解答：解：∵連續函數f（x）是R上的增函數，且點A（1，2）、B（1，1）在它的圖象上
∴f（-1）=2，f（1）=1
則f^-1（2）=-1，f^-1（1）=1
∵|f^-1（log₂x）|＜1
∴f^-1（2）=-1＜f^-1（log₂x）＜1=f^-1（1）
而y=f^-1（x）在R上單調遞減
∴1＜log₂x＜2即2＜x＜4
故答案為：（2，4）．

點評：本題主要考查了反函數，以及絕對值不等式的解法，同時考查了抽象函數的應用，屬于基礎題．