Question

【題目】設A，B為曲線C：y= 上兩點，A與B的橫坐標之和為4．（12分）
（1）求直線AB的斜率；
（2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設A（x1， ），B（x2， ）為曲線C：y= 上兩點，

則直線AB的斜率為k= = （x1+x2）= ×4=1；

（2）

設直線AB的方程為y=x+t，代入曲線C：y= ，

可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，

再由y= 的導數為y′= x，

設M（m， ），可得M處切線的斜率為 m，

由C在M處的切線與直線AB平行，可得 m=1，

解得m=2，即M（2，1），

由AM⊥BM可得，kAMkBM=﹣1，

即為 =﹣1，

化為x1x2+2（x1+x2）+20=0，

即為﹣4t+8+20=0，

解得t=7．

則直線AB的方程為y=x+7．

【解析】（1.）設A（x1 ， ），B（x2 ， ），運用直線的斜率公式，結合條件，即可得到所求；
（2.）設M（m， ），求出y= 的導數，可得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得m，即有M的坐標，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得x1 ， x2的關系式，再由直線AB：y=x+t與y= 聯立，運用韋達定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直線方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線的斜率的相關知識，掌握一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα．