Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有 ＞0成立． （Ⅰ）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調性，并證明；
（Ⅱ）解不等式：f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）；
（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1對所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）任取x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 則﹣x2∈[﹣1，1]，∵f（x）為奇函數， ∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）= （x1﹣x2），…（2分）
由已知得 ＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．
（Ⅱ）∵f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，∴
∴不等式的解集為 ．
（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．∴在[﹣1，1]上，f（x）≤1．
問題轉化為m2﹣2am+1≥1，即m2﹣2am≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立．
下面來求m的取值范圍．設g（a）=﹣2ma+m2≥0．
①若m=0，則g（a）=0≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立．
②若m≠0，則g（a）為a的一次函數，若g（a）≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立，
必須g（﹣1）≥0且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．
綜上，m=0 或m≤﹣2或m≥2
【解析】（Ⅰ）任取x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 利用函數的單調性的定義證明f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．（Ⅱ）利用f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，列出不等式組，即可求出不等式的解集．（Ⅲ）問題轉化為m2﹣2am≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立，通過①若m=0，②若m≠0，分類討論，判斷求解即可．