Question

【題目】已知，圓C：x2+y2﹣8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0．
（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；
（2）當直線l與圓C相交于A、B兩點，且AB=2 時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：將圓C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得標準方程為x2+（y﹣4）2=4，

則此圓的圓心為（0，4），半徑為2．若直線l與圓C相切，則有 ．解得 ．

（2）解：聯立方程 并消去y，

得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．

設此方程的兩根分別為x1、x2，

所以x1+x2=﹣ ，x1x2=

則AB= = =2

兩邊平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，

∴直線l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．

另解：圓心到直線的距離為d= ，

AB=2 =2 ，可得d= ，

解方程可得a=﹣7或a=﹣1，

∴直線l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．

【解析】把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標與圓的半徑r，（1）當直線l與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）聯立圓C和直線l的方程，消去y后，得到關于x的一元二次方程，然后利用韋達定理表示出AB的長度，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．