Question

已知函數f(x)＝x³＋ax²＋bx＋a²(a，b∈R)．
(1)若函數f(x)在x＝1處有極值10，求b的值；
(2)若對于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上單調遞增，求b的最小值．

Answer 1

（1）b＝－11   （2）

解：(1)f′(x)＝3x²＋2ax＋b，
于是，根據題設有，
解得或.
當時，f′(x)＝3x²＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函數有極值點；
當時，f′(x)＝3(x－1)²≥0，所以函數無極值點．
所以b＝－11.
(2)由題意知f′(x)＝3x²＋2ax＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
所以F(a)＝2xa＋3x²＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
因為x≥0，
所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上為單調遞增函數或為常數函數，
①當F(a)為常數函數時，F(a)＝b≥0；
②當F(a)為增函數時，F(a)_min＝F(－4)＝－8x＋3x²＋b≥0，
即b≥(－3x²＋8x)_max對任意x∈[0,2]都成立，
又－3x²＋8x＝－3(x－)²＋≤，
所以當x＝時，(－3x²＋8x)_max＝，所以b≥.
所以b的最小值為.