Question

【題目】北京時間3月10日，CBA半決賽開打，采用7局4勝制（若某對取勝四場，則終止本次比賽，并獲得進入決賽資格），采用2﹣3﹣2的賽程，遼寧男籃將與新疆男籃爭奪一個決賽名額，由于新疆隊常規賽占優，決賽時擁有主場優勢（新疆先兩個主場，然后三個客場，再兩個主場），以下是總決賽賽程：

日期	比賽隊	主場	客場	比賽時間	比賽地點
17年3月10日	新疆﹣遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月12日	新疆﹣遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月15日	遼寧﹣新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月17日	遼寧﹣新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月19日	遼寧﹣新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月22日	新疆﹣遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月24日	新疆﹣遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊

（1）若考慮主場優勢，每個隊主場獲勝的概率均為 ，客場取勝的概率均為 ，求遼寧隊以比分4：1獲勝的概率；
（2）根據以往資料統計，每場比賽組織者可獲得門票收入50萬元（與主客場無關），若不考慮主客場因素，每個隊每場比賽獲勝的概率均為 ，設本次半決賽中（只考慮這兩支隊）組織者所獲得的門票收入為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設“遼寧隊以比分4：1獲勝”為事件A，“第i場比賽取勝”記作事件Ai，由賽程表可知：

P（A1）=P（A2）= ，P（A3）=P（A4）=P（A5）= ．

則P（A）=P（ A2A3A4A5）+P（ A3A4A5）+P（A1A2 A4A5）+P（A1A2A3 A5）= + + + =

（2）解：X的所有可能取值為200，250，300，350

設“遼寧隊以4：0取勝”為事件A4，“四川隊以4：0取勝”為事件B4；

“遼寧隊以4：1取勝”為事件A5，“四川隊以4：1取勝”為事件B5；

“遼寧隊以4：2取勝”為事件A6，“四川隊以4：2取勝”為事件B6；

“遼寧隊以4：3取勝”為事件A7，“四川隊以4：3取勝”為事件B7；

則P（X=4）=P（A4）+P（B4）= = ．P（X=5）=P（A5）+P（B5）= = ．

P（X=6）=P（A6）+P（B6）= = ．

P（X=7）=P（A7）+P（B7）= × × = ．

∴X的分布列為：

X	200	250	300	350
P

E（X）=200× +250× +300× +350× =290.625

【解析】（1）設“遼寧隊以比分4：1獲勝”為事件A，“第i場比賽取勝”記作事件Ai，由賽程表可知： P（A1）=P（A2）= ，P（A3）=P（A4）=P（A5）= ．利用P（A）=P（ A2A3A4A5）+P（ A3A4A5）+P（A1A2 A4A5）+P（A1A2A3 A5）即可得出．（2）X的所有可能取值為200，250，300，350．設“遼寧隊以4：0取勝”為事件A4 ， “四川隊以4：0取勝”為事件B4；“遼寧隊以4：1取勝”為事件A5 ， “四川隊以4：1取勝”為事件B5；“遼寧隊以4：2取勝”為事件A6 ， “四隊以4：2取勝”為事件B6；“遼寧隊以4：3取勝”為事件A7 ， “四川隊以4：3取勝”為事件B7；可得P（X=i）=P（Ai）+P（Bi）即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．