Question

在平面直角坐標系中，已知定點A（－2，0）、B（2，0），異于A、B兩點的動點P滿足，其中k₁、k₂分別表示直線AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；

（Ⅱ）若N是直線x=2上異于點B的任意一點，直線AN與（I）中軌跡E交予點Q，設直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M（異于點B），點C（1，0），求證：|CM|·|CN|  為定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據斜率公式，有斜率乘積等于整理即得，注意；（Ⅱ）設直線的方程，與橢圓方程組成方程組，消去，由韋達定理求點的坐標，根據直線與以為直徑的圓的另一個交點為，得，從而得到直線的方程，確定恒過的定點.證明三點共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,,即為定值.

試題解析：(Ⅰ)設,由得   ,其中,

整理得點的軌跡方程為.       (4分)

（Ⅱ）設點，則直線的方程為，

解方程組，消去得，

設，則，，

從而，又，

直線與以為直徑的圓的另一個交點為，，

方程為,即,過定點,        (9分)

定值證法一:即三點共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,,為定值.                                  (12分)

定值證法二:直線:,直線:,  

聯立得,, 

,為定值.       (12分)

考點：橢圓方程，直線與橢圓的關系，定點、定值問題.