Question

【題目】已知函數f（x）對任意實數x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=﹣2．
（1）判斷f（x）的奇偶性及單調性并證明你的結論；
（2）若對任意x∈R，不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：取x=y=0，則f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0．

取y=﹣x，則f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），

∴f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R恒成立，∴f（x）為奇函數．

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，

∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），又f（x）為奇函數，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）是R上的減函數

（2）解：f（x）為奇函數，整理原式得f（ax2）+f（﹣2x）＜f（x）+f（﹣2），

則f（ax2﹣2x）＜f（x﹣2），

∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數，∴ax2﹣2x＞x﹣2，

當a=0時，﹣2x＞x﹣2在R上不是恒成立，與題意矛盾；

當a＞0時，ax2﹣2x﹣x+2＞0，要使不等式恒成立，則△=9﹣8a＜0，即a＞ ；

當a＜0時，ax2﹣3x+2＞0在R上不是恒成立，不合題意．

綜上所述，a的取值范圍為（ ，+∞）

【解析】（1）取x=y=0，則f（0+0）=2f（0），可得f（0）=0．取y=﹣x，則f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即可判斷出奇偶性．任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2 ， 可得x2﹣x1＞0，f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，化簡即可得出單調性．（2）利用函數的奇偶性與單調性、不等式的解法即可得出．