Question

【題目】已知f（x）=a（x-lnx）+，a∈R.

（I）討論f（x）的單調性；

（II）當a=1時，證明f（x）＞f’（x）+對于任意的x∈[1,2] 恒成立。

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，然后對a分類分析導函數的符號，由導函數的符號確定原函數的單調性；
（Ⅱ）令g（x）=x-lnx，h（x）=-1則f（x）-f′（x）=g（x）+h（x），利用導數分別求g（x）與h（x）的最小值得到f（x）-f’（x）＞g（1）+h（2）=.

試題解析：

（I）解：函數的定義域為（0，+00），f’（x）=a-

F’（x）=

若a≤0時，x∈（0,1）時，f’（x）＞0，則f（x）單調遞增

x∈（1，+00）時，f’（x）＜0，則f（x）單調遞減。

當a＞0時，f’（x）=（）（x-）

若0＜a＜2時，＞1，

當x∈（0,1）或x∈（，+00）時，f’（x）＞0，f（x）單調遞增

當x∈（1，）時，f’（x）＜0，f（x）單調遞減。

若a=2時，=1，早x∈（0，+00）內，f’（x）≥0，f（x）單調遞增；

若a＞2時，0＜＜1，

當x∈（0，）或x∈（1，+00）時，f’（x）＞0，f（x）單調遞增

當x∈（，1）時，f‘（x）＜0，f（x）單調遞減。

綜上所述；當a≤0時，f（x）在（0,1）單調遞增，f（x）在(1,+00)單調遞減。

當0＜a＜2時，f（x）在（0,1）上單調遞增；f（x）在（1，）單調遞減

當a=2時，f（x）在（0，+00）單調遞增；

若a＞2時，f（x）在（0，），（1，+00）單調遞增；

f（x）在（，1）單調遞減

（II）由（I）知，a=1時，f（x）-f’（x）=x-lnx+-（1-）

=x-lnx+-1，x∈[1,2]

令g（x）=x-lnx，h（x）=-1，x∈[1,2]，則f（x）-f’(x)=g（x）+h（x），

由g’（x）=≥0，可得g（x）≥g（1）=1，當且僅當x=1時取得等號，

又h’（x）=，設（x）=-3x2-2x+6，則（x）在x∈[1,2]單調遞減，

因為（1）=1，（2）=-10，所以在[1,2]上存在x0，

使得x∈（1，x0）時，（x）＞0，x∈（x0，2）時，（x）＜0.

所以h（x）在（1，x0）上單調遞增，在（x0，2）上單調遞減；

由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，當且僅當x=2時取得等號

所以f（x）-f’（x）＞g（1）+h（2）=，

即f（x）＞f’（x）+對于任意的x∈[1,2]恒成立。