Question

（2013•江蘇）設(shè){a_n}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），S_n是其前n項(xiàng)和．記bn=

nSn

n2+c

，n∈N^*，其中c為實(shí)數(shù)．
（1）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N^*）；
（2）若{b_n}是等差數(shù)列，證明：c=0．

Answer 1

分析：（1）寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，由b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系，代入前n項(xiàng)和公式得到S_n，在前n項(xiàng)和公式中取n=nk可證結(jié)論；
（2）把S_n代入bn=

nSn

n2+c

中整理得到b_n=

(n-1)d+2a

2

-

c (n-1)d+2a 2

n2+c

，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=An+B的形式，說明

c (n-1)d+2a 2

n2+c

=0，由此可得到c=0．

解答：證明：（1）若c=0，則a_n=a₁+（n-1）d，Sn=

n[(n-1)d+2a]

2

，bn=

nSn

n2

=

(n-1)d+2a

2

．
當(dāng)b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列時(shí)，則b22=b1b4，
即：(a+

d

2

)2=a(a+

3d

2

)，得：d²=2ad，又d≠0，故d=2a．
因此：Sn=n2a，Snk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．
故：Snk=n2Sk（k，n∈N*）．
（2）bn=

nSn

n2+c

=

n2 (n-1)d+2a 2

n2+c

=

n2 (n-1)d+2a 2 +c (n-1)d+2a 2 -c (n-1)d+2a 2

n2+c

=

(n-1)d+2a

2

-

c (n-1)d+2a 2

n2+c

．  ①
若{b_n}是等差數(shù)列，則{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=A_n+B型．
觀察①式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，
故有：

c (n-1)d+2a 2

n2+c

=0，即c

(n-1)d+2a

2

=0，而

(n-1)d+2a

2

≠0，
故c=0．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)c=0時(shí){b_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，解答此題的關(guān)鍵是理解并掌握非常數(shù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，此題是中檔題．