Question

（2013•江蘇）設函數f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a為實數．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，轉化為

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，結合導數知識，即可求得結論；
（2）先確定a的范圍，再分類討論，確定f（x）的單調性，從而可得f（x）的零點個數．

解答：解：（1）求導數可得f′（x）=

1

x

-a
∵f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，∴

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥

1

x

，x∈（1，+∞）．
∴a≥1．
g′（x）=e^x-a，
若1≤a≤e，則g′（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立，
此時，g（x）=e^x-ax在（1，+∞）上是單調增函數，無最小值，不合；
若a＞e，則g（x）=e^x-ax在（1，lna）上是單調減函數，在（lna，+∞）上是單調增函數，g_min（x）=g（lna），滿足．
故a的取值范圍為：a＞e．
（2）g′（x）=e^x-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則a≤e^x在（-1，+∞）上恒成立，
∴a≤

1

e

f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0）
①0＜a≤

1

e

，令f′（x）＞0得增區間（0，

1

a

）；令f′（x）＜0得減區間（

1

a

，+∞），
當x→0時，f（x）→-∞；當x→+∞時，f（x）→-∞
∴當x=

1

a

時，f（

1

a

）=-lna-1≥0，當且僅當a=

1

e

時取等號
∴當a=

1

e

時，f（x）有1個零點；當0＜a＜

1

e

時，f（x）有2個零點；
②a=0時，則f（x）=-lnx，∴f（x）有1個零點；
③a＜0時，f′(x)=

1

x

-a≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是單調增函數
當x→0時，f（x）→-∞；當x→+∞時，f（x）→+∞
∴f（x）有1個零點
綜上所述，當a=

1

e

或a≤0時，f（x）有1個零點；當0＜a＜

1

e

時，f（x）有2個零點．

點評：此題考查的是可導函數的單調性與其導數的關系，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．