Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，過橢圓M： =1（a＞b＞0）焦點的直線x+y﹣2 =0交M于P，Q兩點，G為PQ的中點，且OG的斜率為9．
（1）求M的方程；
（2）A、B是M的左、右頂點，C、D是M上的兩點，若AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），G（x0，y0），則 ， ， ，

由此可得 ，因為x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， ，所以 ，

又由題意知，M的一個焦點為 ，故a2﹣b2=8．因此a2=9，b2=1，

所以M的方程為 ．

（2）解：由題意可設直線AC的斜率為，所以直線AC的方程為y=k（x+1），

聯立方程組 可得，（9+k2）x2+2k2x+k2﹣9=0，所以有 ，進而可得 ，所以 ，

同理可計算出 ，

所以四邊形ABCD面積 ，

設 ，令 （t≥2），所以 ，此時 ，當且僅當 時取得等號，

所以四邊形ABCD面積的最大值為 ．

【解析】（1）設P（x1，y1），Q（x2，y2），G（x0，y0），利用平方差法推出 ，通過M的一個焦點，求出a，b，即可求出M的方程．（2）由題意可設直線AC的斜率為，所以直線AC的方程為y=k（x+1），聯立 利用韋達定理以及弦長公式，求解四邊形ABCD面積的表達式，通過換元法以及基本不等式求解最值即可．