Question

【題目】已知函數f（x）=（ax﹣1）lnx+ ． （Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l的方程；
（Ⅱ）設函數g（x）=f'（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 其中x1∈（0，e），求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）當a=2時， ，

得切線l的方程為 即4x﹣2y﹣3=0．

（II） ，定義域為（0，+∞），

，令g'（x）=0得x2+ax+1=0，

其兩根為x1，x2，且x1+x2=﹣a，x1x2=1，

故 ．

= ，

．

則（g（x1）﹣g（x2））min=h（x）min， ，

當x∈（0，1]時，恒有h'（x）≤0，x∈（1，e]時，恒有h'（x）＜0，

總之當x∈（1，e]時，h（x）在x∈（0，e]上單調遞減，

所以 ，

∴ ．

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數的導數，得到 ，求出g（x1）﹣g（x2）的解析式，根據函數的單調性求出其最小值即可．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．