Question

9、已知定義在R上的函數y=f（x）滿足下列三個條件：①對任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x）；②對于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），③f（x+2）的圖象關于y軸對稱，則f（4.5），f（6.5），f（7）的大小關系是

f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）

．

Answer 1

分析：對任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），得到函數是一個周期函數T=4，對于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），得到函數在[0，2]上是一個遞增函數，根據f（x+2）的圖象關于y軸對稱，得到f（x）的圖象關于x=2對稱．

解答：解：∵對任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），
∴函數是一個周期函數T=4，
∵對于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂）
∴函數在[0，2]上是一個遞增函數，
∵f（x+2）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）的圖象關于x=2對稱，
f（4.5）=f（1.5）
f（6.5）=f（2.5）=f（2）
f（7）=f（3）=f（1）
∵函數在[0，2]上是一個遞增函數，
∴f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
故答案為：f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）．

點評：本題考查函數的周期性和函數的單調性，是一個關于函數性質的綜合題目，解題的關鍵是把幾個函數的自變量通過變化，放到同一個單調區間上．