Question

【題目】已知函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意知方程有兩根，構造函數，可知直線與函數的圖象有兩個公共點，且兩函數的圖象均過點，考查直線與曲線相切于點這個臨界位置，利用數形結合思想可求得實數的取值范圍.

函數的定義域為，且，

由，可得，構造函數，

則直線與函數的圖象有兩個公共點，

，令，得，列表如下：

		極大值

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

當時，函數取得最大值，即，且當時，.

易知，直線與函數的圖象均過點，如下圖所示：

考慮直線與曲線相切于點這個臨界位置，此時.

即當時，直線與曲線相切于點，此時，直線與曲線有且只有一個公共點.

由圖象可知，當且時，直線與曲線有兩個公共點.

因此，實數的取值范圍是.

故答案為：.