Question

【題目】已知，，是直線上的個不同的點（，、，均為非零常數），其中數列為等差數列.

（1）求證：數列是等差數列；

（2）若點是直線上一點，且，求證：；

（3）設，且當時，恒有（和都是不大于的正整數，且）試探索：若為直角坐標原點，在直線上是否存在這樣的點，使得成立？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在滿足要求，理由見解析

【解析】

（1）運用等差數列的定義求證，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列.（2）由三點共線，則有①，再將分解為，再代入①中可解.（3）先假設成立，在坐標系中運用向量的坐標運算可得①，再根據時，恒有，推出②，再聯立①②可推出P點橫坐標和縱坐標推出P點存在.

（1）證明：設等差數列的公差為，

因為，

所以為定值，

即數列也是等差數列

（2）證明：因為點、和都是直線上一點，

故有，，

于是，

即

所以，

令，，

則有；

（3）解：假設存在點滿足要求，

則有，

又當時，恒有，

則又有，

所以，

又因為數列成等差數列，

于是，

所以，

故，

同理，

且點在直線上（是、的中點），

即存在滿足要求．