Question

【題目】某公司決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估，該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件.

（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？

（2）為了抓住2022年冬奧會(huì)契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略改革，并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬(wàn)作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).

Answer 1

【答案】（1）40元（2）至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)符合要求，此時(shí)每件定價(jià)為30元

【解析】

（1）設(shè)出每件的定價(jià)，根據(jù)“銷售的總收入不低于原收入”列不等式，解不等式求得定價(jià)的取值范圍，由此求得定價(jià)的最大值.（2）利用題目所求“改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和”列出不等式，將不等式分離常數(shù)，然后利用基本不等式求得的取值范圍以及此時(shí)商品的每件定價(jià).

解：（1）設(shè)每件定價(jià)為元，

依題意得，

整理得，

解得

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元.

（2）依題意知當(dāng)時(shí)，不等式有解

等價(jià)于時(shí)，有解，

由于，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以

當(dāng)該商品改革后銷售量至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.