Question

如圖1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D是AP的中點，E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如圖2．
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的體積；
（Ⅱ）求證：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據要求的三棱錐的體積與已知底面和高的三棱錐的體積相等，寫出體積的表示式，得到結果．
（Ⅱ）建立坐標系，寫出要用的點的坐標，進而寫出向量，設出平面的法向量，求出法向量，根據法向量與直線的方向向量垂直，得到線面平行．
（Ⅲ）兩個平面的法向量一個已經求出，另一個在圖形中存在，這樣根據兩個平面的法向量所成的角，得到兩個平面的二面角．

解答：解：（Ⅰ）VD-PAB=VP-DAB=

1

3

S△ABD•PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．
（Ⅱ）證明：如圖以D為原點，以

DA

，

DC

，

DP

為方向向量建立空間直角坐標系D-xyz．
則有關點及向量的坐標為：

P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)， E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，00).

AP

=(-2，0，2)，

EF

=(0，-1，0)，

EG

=(1，1，-1)
設平面EFG的法向量為

n

=(x，y，z)∴

n • EF =0 n • EG =0

?

-y=0 x+y-z=0

?

x=z y=0

．取

n

=(1，0，1)．
∵

n

•

AP

=1×(-2)+0×0+1×2=0，∴

n

⊥

AP

，
又AP?平面EFG．∴AP∥平面EFG
（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形∴AD⊥DC，又∵PD⊥面ABCD∴AD⊥PD
又PD∩CD=D∴AD⊥平面PCD，∴向量

DA

是平面PCD的一個法向量，

DA

=（2，0，0）
平面EFG的法向量為

n

=(1，0，1)∴cos?

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA |•| n |

=

2

2 2

=

2

2

．
結合圖知二面角G-EF-D的平面角為45⁰．

點評：本題考查立體幾何的綜合題目，本題解題的關鍵是建立坐標系，把一些理論性的證明轉化成運算，降低了題目的難度．