Question

（2013•肇慶二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．將△ABD沿對角線BD折起（圖2），記折起后點A的位置為P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱錐P-BCD的體積；
（2）求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意證明PE為三棱錐P-BCD的高，由原圖形可得三角形BDC為等腰直角三角形，求出其面積，則三棱錐P-BCD的體積可求；
（2）由（1）的求解過程知道PE⊥BD，DC⊥BD，過E作DC的平行線后以E點為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面PBC與平面PCD的法向量，由平面法向量求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大小．

解答：解：（1）∵平面PBD⊥平面BCD，PE⊥BD，PE?平面PBD，平面PBD∩平面BCD=BD，
∴PE⊥平面BCD，
即PE是三棱錐P-BCD的高，
又∵AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠BDC=90°，CD=BD=

AB2+AD2

=

2

，
∴PE=AE=ABsin45o=

2

2

，S△BCD=

1

2

BD•CD=

1

2

×

2

×

2

=1，
∴三棱錐P-BCD的體積V=

1

3

S△BCD•PE=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

．
（2）過E作直線EG∥DC，交BC于G，則EG⊥BD，EG⊥PE
如圖建立空間直角坐標系，

則P(0，0，

2

2

)，B(

2

2

，0，0)，C(-

2

2

，

2

，0)，D(-

2

2

，0，0).

PB

=(

2

2

，0，-

2

2

)，

PC

=(-

2

2

，

2

，-

2

2

)，

PD

=(-

2

2

，0，-

2

2

)．
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • PB =0 n • PC =0

，即

2 2 x- 2 2 z=0 - 2 2 x+ 2 y- 2 2 z=0

，化簡得

z=x x-2y+z=0

令x=1，得z=1，y=1，所以

n

=（1，1，1）是平面PBC的一個法向量．
再設(shè)

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • PC =0 m • PD =0

，即

- 2 2 x1+ 2 y1- 2 2 z1=0 - 2 2 x1- 2 2 z1=0

，化簡得

x1-2y1+z1=0 x1+z1=0

令x₁=1，得y₁=0，z₁=-1，所以平面PCD的一個法向量為

m

=（1，0，-1）．
設(shè)向量

n

和

m

所成角為θ，則cosθ=|

n • m

| n |•| m |

|=

0

3 • 2

=0．
∴平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大小為90°．

點評：本題考查了棱錐的體積的求法，考查了二面角的平面角及求法，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，解答此題時一定要注意折疊前后的變量與不變量，此題是中檔題．