Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E為CD上一點，且DE=4，過E作EF∥AD交BC于F現將△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如圖2．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ADP；
（Ⅱ）求異面直線BD與PF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段PF上是否存在一點M，使DM與平在ADP所成的角為30°？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件及圖形知，本題可采用兩種方法求解，
法一，證明AD⊥PE，PE⊥PD，再利用線面垂直的判定定理證明即可；
法二，用向量法，建立如圖的坐標系，根據題設條件寫出各點的坐標，易得直線PE的方向向量與面內兩直線AD，PD的方向向量，用數量積證明即可；
（Ⅱ）本題用向量法比較方便，借助（I）中的坐標系，易得兩異面直線的方向向量，用數量積求兩異面直線的夾角的余弦值或其補角的余弦值；
（Ⅲ）先假定存在，設出點M的坐標，由線面垂直的條件尋求滿足題意的條件，根據DM與平在ADP所成的角為30°，建立方程求參數，為了解答本題，需要求出平面的法向量與直線DM的方向向量．然后利用相關規則求夾角的余弦，令其值等于sin30°，建立方程求參數，若能求出符合條件的參數，則說明存在，否則，說明不存在．

解答：解：（Ⅰ）解法一：∵DE=4，PE=2，∠PED=60°，由弦定理得PD=2

3

，
∵PD²+PE²=16=DE²，∴PE⊥PD．∵EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE，又∵EF∥AD，∴AD⊥平面PDE，∴AD⊥PE，又∵直線AD，PD在平面APD內，且相交于D，∴PE⊥平面APD．
解法二：EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE
以DA所在的直線為 x軸，以DE所在的直線為y軸，在平面DPE內過D作DE的垂線，以垂線所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖
則D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，

3

），E（0，4，0）
∴

DA

=（3，0，0），

DP

=（0，3，

3

），

EP

=（0，-1，

3

）．∵

DA

•

EP

=0，

DP

•

EP

=0，∴

DA

⊥

EP

，

DP

⊥

EP

∴DA⊥EP，DP⊥EP，∵DA，DP是平面ADP內的相交直線，∴PE⊥平面APD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面PDE，∴平面ADE⊥平面PDE
以DA所在的直線為 x軸，以DE所在的直線為y軸，在平面DPE內過D作DE的垂線，以垂線所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖
則D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，

3

），E（0，4，0），F（

3

2

，4，0），B（3，2，0），∴

DB

=（3，2，0），

PF

=（

3

2

，1，-

3

）
∴cos＜

DB

，

PF

＞ =

DB •  PF

| DB |×|  PF |

=

13

5

設BD與PF所成的角為θ，則θ=＜

DB

，

PF

＞，∴cosθ=

13

5

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

EP

=（0，-1，

3

）.

PF

=（

3

2

，1，-

3

）
∵PE⊥平面ADP，∴平面ADP的法向量為

n

=

EP

=（0，-1，

3

）．
設M是線段PF上一點，則存在0≤λ≤1，
使

PM

=λ

PF

∴

DM

=

DP

+

PM

═（0，3，

3

）+λ（

3

2

，1，-

3

）=（

3

2

λ，λ+3，-

3

λ+3）
.cos＜

n

，

DM

＞=

n • DM

| n |×| DM |

=

4λ

25λ2+48

，如果直線DM與平面ADC所成的角為30°，
那么|cos＜

n

，

DM

＞|=sin30°，即

4λ

25λ2+48

=±

1

2

解得λ2=

16

13

∵此方程在[0，1]內無解，
∴在線段PF上不存在一點M，使DM與平在ADP所成的角為30°．

點評：本題考查用向量法證明線面垂直，求兩異面直線所成的角，驗證是否存在一點M使得DM與平在ADP所成的角為30°的問題，用向量法解決此類問題大大降低了解題難度，是解此類題的一個優先扶把思路．