Question

已知拋物線y=ax²+bx在第一象限內與直線x+y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a，b值，并求S的最大值．

Answer 1

分析：依題設可知拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x₁=0，x2=-

b

a

，所以S=

∫

- b a 0

(ax2+bx)dx=

1

6a2

•b3．由直線x+y=4與拋物線y=ax²+bx相切，知ax²+（b+1）x-4=0中△=（b+1）²+16a=0，由此能求出S達到最大值的a，b值及S的最大值．

解答：解：依題設可知拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x₁=0，x2=-

b

a

，
所以S=

∫

- b a 0

(ax2+bx)dx=（

1

3

ax3+

1

2

bx2）

|

- b a 0

=

1

3

a•(-

b

a

)3+

1

2

b•(-

b

a

)2
=

1

6a2

•b3（1）…（4分）
又直線x+y=4與拋物線y=ax²+bx相切，
即它們有唯一的公共點
由方程組

x+y=4 y=ax2+bx

，
得ax²+（b+1）x-4=0，其判別式△必須為0，
即△=（b+1）²+16a=0，
于是a=-

1

16

(b+1)2，…（8分）
代入（1）式得：S(b)=

128b3

3(b+1)4

(b＞0)，
S′(b)=

128b2(3-b)

3(b+1)5

．
令S′（b）=0，在b＞0時，得b=3；
當0＜b＜3時，S′（b）＞0；
當b＞3時，S′（b）＜0．
故在b=3時，S（b）取得極大值，也是最大值，
即a=-1，b=3時，S取得最大值，且Smax=

9

2

．…（12分）

點評：本題考查拋物線和直線的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意定積分的合理運用．