Question

已知拋物線y=ax²-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)而不求，可設(shè)出對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱，可以設(shè)直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點(diǎn)存在，所以方程組

y=x+b y=ax2-1

有兩組不同的實(shí)數(shù)解，利用中點(diǎn)在直線上消去參數(shù)b，建立關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系，求出變量a的范圍．

解答：解：設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩相異點(diǎn)為P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），設(shè)
直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點(diǎn)存在，
所以方程組

y=x+b y=ax2-1

有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即得方程ax²-x-（1+b）=0．①
判別式△=1+4a（1+b）＞0．②
由①得x₀=

x1+x2

2

=

1

2a

，y₀=x₀+b=

1

2a

+b．
∵M(jìn)∈l，∴0=x₀+y₀=

1

2a

+

1

2a

+b，
即b=-

1

a

，代入②解得a＞

3

4

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍（

3

4

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，以及對(duì)稱問題，屬于難題，有一定的計(jì)算量．