Question

【題目】已知在上的函數(shù)滿足如下條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；②對于任意，；③當(dāng)時，；④函數(shù)，，若過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象在上恰有8個交點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)條件分別判斷函數(shù)的周期性，奇偶性以及函數(shù)在一個周期上的圖象，利用函數(shù)與圖象之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，

∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，

由f（2+x）﹣f（2﹣x）=0得f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），

即f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，

若x∈[﹣2，0]，則x∈[0，2]，

∵當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=x，

∴當(dāng)﹣x∈[0，2]時，f（﹣x）=﹣x，

∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣x=f（x），

即f（x）=﹣x，x∈[﹣2，0]，

則函數(shù)f（x）在一個周期[﹣2，2]上的表達(dá)式為f（x）=，

∵f（n）（x）=f（2n﹣1x），n∈N*，

∴數(shù)f（4）（x）=f（23x）=f（8x），n∈N*，

故f（4）（x）的周期為，其圖象可由f（x）的圖象壓縮為原來的得到，

作出f（4）（x）的圖象如圖：

易知過M（﹣1，0）的斜率存在，

設(shè)過點(diǎn)（﹣1，0）的直線l的方程為y=k（x+1），設(shè)h（x）=k（x+1），

則要使f（4）（x）的圖象在[0，2]上恰有8個交點(diǎn)，

則0＜k＜kMA，

∵A（，0），

∴kMA==，

故0＜k＜，

故選：A．