Question

【題目】四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC底面BCDE，BC=2,CD=,AB=AC

（1）證明.

（2）設側面ABC為等邊三角形，求二面角C-AD-E的余弦值。

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，利用三垂線定理，即可證得；

（2）利用二面角的定義，得到∠CGE是二面角C-AD-E的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值.

(1)作AO⊥BC，垂足為O，連接OD，

由題設知，AO⊥底面BCDE，且O為BC中點，

由，可得RtΔOCD∽Rt△CDE，從而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD,

由三垂線定理，可得.

(2)由題意知BE⊥BC，所以BE⊥側面ABC，又BE側面ABE，∴側面ABE⊥側面ABC.

作CF⊥AB，垂足為F，連接FE,則CF⊥平面ABE，

故∠CEF為CE與平面ABE所成的角，且∠CEF=45°，

由CE=，得CF=，

又∵BC=2，△ABC為等邊三角形，

作CG⊥AD，垂足為G，連GE

由(1)知，CE⊥AD,又CE∩CG=C,

故AD⊥平面CGE,AD⊥GE，所以∠CGE是二面角C-AD-E的平面角.

，

，

在中，由余弦定理得，

所以二面角C-AD-E的余弦值為.