Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）滿足f（2x）=x2﹣2ax+a2﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并寫出f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f（x）在 上的值域為[﹣1，0]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令2x=t＞0，則x=log2t，則 ，

即 ．

定義域為：（0，+∞）；

（Ⅱ）令g（x）=f（2x），則f（x）= ，

∴f（x）在 上的值域為[﹣1，0]等價于g（x）=x2﹣2ax+a2﹣1

在區間[a﹣1，a2﹣2a+2]上的值域為[﹣1，0]．

∵g（a）=﹣1∈[﹣1，0]，∴a∈[a﹣1，a2﹣2a+2]，且g（x）在區間[a﹣1，a2﹣2a+2]上的最大值應在區間端點處取得．

又g（a﹣1）=0恰為g（x）在該區間上的最大值，故a必在區間右半部分，即 ，

解得 或

【解析】（Ⅰ）使用換元法令2x=t＞0，則x=log2t代入即可求出；（Ⅱ）由題意，利用換元法將f（x）在 上的值域為[﹣1，0]等價于g（x）=x2﹣2ax+a2﹣1在區間[a﹣1，a2﹣2a+2]上的值域為[﹣1，0]．從而求解可得實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．