Question

在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，，點E是棱AB上一點．且．

（1）證明：；
（2）若二面角D₁—EC—D的大小為，求的值．

Answer 1

（1）詳見解析;（2）－1．

試題分析：（1）根據題意顯然以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系．此時不妨設AD =AA₁＝1，AB＝2，則本表示出圖中各點坐標，這里主要是要運用向量的知識表示出點E的坐標，這樣就可表示出和的坐標，利用向量垂直的充要條件：它們的數量積等于0，問題即可得證;（2）運用求平面法向量的知識分別求出：平面DEC的法向量為n₁＝(0，0，1);平面D₁CE的法向量為，利用向量夾角知識可得： ，可解得±－1．利用E是棱AB上的一點，所以λ＞0，故所求的λ值為－1．
試題解析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸建立空間直角坐標系．
不妨設AD =AA₁＝1，AB＝2，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，
C(0，2，0)，A₁(1，0，1)，B₁(1，2，1)，C₁(0，2，1)，D₁(0，0，1)．
因為＝λ，所以，于是(－1，0，－1)．
所以．
故D₁EA₁D．                                                          5分
（2）因為D₁D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量為n₁＝(0，0，1)．
又，(0，－2，1)．
設平面D₁CE的法向量為n₂＝(x，y，z)，
則n₂·，n₂·，
所以向量n₂的一個解為．
因為二面角D₁—EC—D的大小為，則．
解得±－1．
又因E是棱AB上的一點，所以λ＞0，故所求的λ值為－1．               10分