Question

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．

（1）設與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點（與兩點不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）存在，的長為.

試題分析：（1）直線和平面所成的角以及二面角的計算，可以考慮兩種方法，其一利用傳統立體幾何的方法，由已知得，，又，故面，則，由平面，，故，則，然后分別在直角三角形中，求，或者可以建立空間直角坐標系，通過平面的法向量和直線的方向向量求直線和平面所成的角，利用兩個半平面的法向量來求二面角的大��；（2）建立空間直角坐標系，設點，并求出半平面的法向量，利用和法向量垂直，列等式，即可求解.

試題解析：解法一：(1)證明： 又
                                       1分
又平面，,面     2分
∴               3分
,                5分
                                   6分
(2)取的中點，連交于,由與相似得，,  7分
在上取點,使,則,                     8分
在上取點使,由于平行且等于,               
故有平行且等于，                                               9分
四邊形為平行四邊形，所以,                             10分
而, 故有∥平面,                                   11分
所以在線段上存在一點使得∥平面，的長為.          12分

解法二：（1）同解法一；
（2）如圖，以為原點，所在直線分別為軸，建立直角坐標系，則,為的中點,則     7分
假設存在符合條件的點，則共面，
故存在實數，使得         9分  
即，故有即  11分
即存在符合條件的點，的長為.            12分