Question

設向量，，函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）求函數f（x）在上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得 函數f（x）==（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sinx（sinx+cosx ）+2cos²x=1+sin2x+
=+cos（2x+），
故函數的周期等于 =π．
（Ⅱ）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函數的單調增區間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（Ⅲ）由于，故2x+∈，故當2x+=-時，函數取得最小值為1，當 2x+=時，函數取得最大值為 ．
分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 +cos（2x+），由此求得它的周期．
（Ⅱ）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的單調增區間．
（Ⅲ）由于，故2x+∈，結合函數圖象可得函數的最小值和函數的最大值．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，求復合三角函數的增區間，屬于中檔題．