Question

【題目】【2017北京豐臺5月綜合測試】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明：對于，在區間上有極小值，且極小值大于0.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）的定義域為，

因為，所以，所以.

因為，，

所以曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）因為,所以在區間上是單調遞增函數.

因為，，

所以,使得.

所以，；，，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

所以有極小值.

因為,

所以.

設，，

則，

所以，即在上單調遞減，所以，

即，所以函數的極小值大于0．

點睛:本題考查導數的幾何意義以及函數的單調性與極值問題.函數y＝f（x）在x＝x0處的導數的幾何意義，就是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率，過點P的切線方程為：.求函數y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線方程與求函數y＝f（x）過點P（x0，y0）的切線方程意義不同，前者切線有且只有一條，且方程為y－y0＝f′（x0）（x－x0），后者可能不只一條．