Question

【題目】如圖，橢圓：的離心率為，設，分別為橢圓的右頂點，下頂點，的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知不經過點的直線：交橢圓于，兩點，線段的中點為，若，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）根據離心率為， 的面積為1.，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 ，即可得結果；（2）由，可得線段為外接圓的直徑，即，聯立，利用平面向量數量積公式、結合韋達定理可得或，直線的方程為或，從而可得結論.

（1）由已知，，，可得，

又因為，即，所以，即，，

所以橢圓的方程為.

（2）由題意知，因為，

所以，所以線段為外接圓的直徑，即，

聯立，得，

，設，，則

，， ①又因為，

即，

又，，，

即， ②

把①代入②得：

得或，

所以直線的方程為或，

所以直線過定點或（舍去），

綜上所述直線過定點.