Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，O為的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點F，連接，易得，，由線面垂直判定定理可得平面，進而，再將與線面垂直判定定理相結合即可得結果.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，可求出平面的一個法向量，取平面的一個法向量，根據圖象結合即可得結果.

（1）證明：取的中點F，連接.

因為，F為的中點，所以.

因為O為中點，F為的中點，所以.

因為，所以，

因為，平面，平面，所以平面.

又平面，所以.

因為，O為的中點，所以.

因為，平面，平面，

所以平面.

（2）解：以O為坐標原點，所在直線為x軸，平行的直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，∵，

∴，∴，

則，，，，，

因為，所以，

故，.

設平面的法向量，則

不妨取，則

平面的一個法向量，記二面角的大小為，

由圖可知為銳角，則.