Question

在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一點M，F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，若|MF1|•|MF2|=2b2，則橢圓離心率的范圍是（　　）

• A．(0，

  2

  2

  ]
• B．[

  2

  2

  ，1)
• C．[

  3

  2

  ，1)
• D．[

  2

  ，1)

Answer 1

分析：利用橢圓的定義，通過平方推出與|MF1|•|MF2|=2b2的關系以及在△MF₁F₂中，由余弦定理，判斷三角形的形狀，然后求出橢圓的離心率．

解答：解：由橢圓定義可知：|MF₁|+|MF₂|=2a，
所以|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|•|MF2|=4a2…①，
在△MF₁F₂中，由余弦定理可知|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|•|MF2|cosθ=4c2…②
又|MF1|•|MF2|=2b2，…③，
由①②③可得：4c²=4a²-4b²-2|MF₁|•|MF₂|cosθ．
所以|MF₁|•|MF₂|cosθ=0．
所以c≥b，即c²≥b²=a²-c²，2c²≥a²，e2≥

1

2

，
所以e∈[

2

2

，1)．
故選B．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查余弦定理的應用，橢圓的定義，考查計算能力．