Question

橢圓

x2

a2

+y2=1(a＞1)的一個焦點為F，點P在橢圓上，且|

OP

|=|

OF

|（O為坐標(biāo)原點），則△OPF的面積S=

1

2

a2-1

．

Answer 1

分析：利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)|

OP

|=|

OF

|，求出P的縱坐標(biāo)，然后求出三角形的面積即可．

解答：解：橢圓

x2

a2

+y2=1(a＞1)的一個焦點為F（

a2-1

，0），
設(shè)P（acosθ，sinθ）θ∈(0，

π

2

)，因為|

OP

|=|

OF

|，
所以，a²cos²θ+sin²θ=（

a2-1

）²，解得sinθ = 

1 a2-1

，
所以△OPF的面積S=

1

2

×(

a2-1

)2×

1 a2-1

=

1

2

a2-1

．
故答案為：

1

2

a2-1

點評：本題是中檔題，考查橢圓與向量的關(guān)系，求出P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．