Question

已知A(4，

12

5

)，B(x1，y1)，C(x2，y2)三點在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，△ABC的重心與此橢圓的右焦點F（3，0）重合
（1）求橢圓方程
（2）求BC的方程．

Answer 1

分析：（1）將點A點的坐標代入橢圓方程結合橢圓的右焦點F，解得橢圓的a，b，c，求出方程．
（2）利用重心的定義，得出BC中點的坐標，再利用差分法求BC所在直線的斜率，從而求出它的方程．

解答：解：（1）由題意：

16 a2 + c=3 144 25b2 =1 a2=b2+c2

⇒

a=5 b=4 c=3

，故橢圓方程為：

x2

25

+

y2

16

=1
（2）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由題意有：

4+x1+x2

3

=3，

12 5 +y1+y2

3

=0，故x1+x2=5，y1+y2=-

12

5

，又

x 2 1

25

+

y 2 1

9

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

9

=1，兩式作差可得：

(x1+x2)(x1-x2)

25

+

(y1+y1)(y1-y2)

9

=0．
即：kBC=

y1-y2

x1-x2

=-

9

25

•

x1+x2

y1+y2

=

4

3

，
故直線BC的方程為：y-

y1+y2

2

=

4

3

(x-

x1+x2

2

)，
即：40x-30y-136=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質、直線方程求解．若知弦中點求弦所在直線方程時常用“差分法”求解．