Question

20. 下圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3.

   （1）設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

   （2）求AB與平面AA₁C₁C所成的角的大小；

   （3）求此幾何體的體積.

Answer 1

解法一：

(1)證明：作OD∥AA₁,交A₁B₁于D, 連C₁D.

則OD∥BB₁∥CC₁.

因為O是AB的中點，

所以OD=(AA₁+BB₁)=3=CC₁.

則ODC₁C是平行四邊形，因此有OC∥C₁D,

C₁D 平面C₁B₁A₁且OC 平面C₁B₁A₁

則OC∥面A₁B₁C₁

(2)解：如圖，過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁,分別交AA₁、CC₁于A₂、C₂,

作BH⊥A₂C₂于H,

因為平面A₂BC₂⊥平面AA₁C₁C, 則BH⊥面AA₁C₁C.

連結AH，則∠BAH就是AB與面AA₁C₁C所成的角.

因為,,所以,

AB與面AA₁C₁C所成的角為.

 

(3)因為,所以

.

,

所求幾何體的體積為

解法二：

(1)證明：如圖，以B₁為原點建立空間直角坐標系，則A(0,1,4), B(0,0,2), C(1,0,3), 因為O是AB的中點所以O（0,，3）,

.

易知，＝（0,0,1）是平面A₁B₁C₁的一個法向量。

由且OC 平面A₁B₁C₁知OC∥平面A₁B₁C₁.

(2)設AB與面AA₁C₁C所成的角為θ。

求得,.

設是平面AA₁C₁C的一個法向量，則

由得：取x=y=1得：.

又因為

所以，，則，

所以AB與面AA₁C₁C所成的角為.

(3)同解法一