Question

（07年江西卷文）（12分）

下圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；

（2）求與平面所成的角的大小；

（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

解析：解法一：

（1）證明：作交于，連．

則，因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325105431006.gif' width=16>是的中點(diǎn)，

所以．則是平行四邊形，因此有，

平面，且平面，則面．

（2）解：如圖，

過作截面面，分別交，于，，

作于，

因?yàn)槠矫?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325105434025.gif' width=64>平面，則面．

連結(jié)，則就是與面所成的角．

因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325105436030.gif' width=68>，，所以．

與面所成的角為．

（3）因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325105436030.gif' width=68>，所以．

．

．

所求幾何體的體積為．

解法二：

（1）       證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325105431006.gif' width=16>是的中點(diǎn)，所以，

，

易知，是平面的一個(gè)法向量．

由且平面知平面．

（2）設(shè)與面所成的角為．

求得，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則由得，

取得：．

又因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325105447055.gif' width=109>

所以，，則．

所以與面所成的角為．

（3）同解法一