Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣ ．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）解不等式f（f（x））+f（ ）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x+1＞1得函數的定義域為R，

又f（﹣x）+f（x）= ﹣ + ﹣ = + ﹣1=1﹣1=0．

則f（﹣x）=﹣f（x），

故f（x）為奇函數

（2）解：f（x）為R上的減函數

證明如下：

任取x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ﹣ + = ﹣ = ，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，

則f（x1）﹣f（x2）= ＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

故f（x）為R上的減函數

（3）解：由（1）（2）知f（x）在R上是奇函數且單調遞減，

由f（f（x））+f（ ）＜0得f（f（x））＜﹣f（ ）=f（﹣ ），

則f（x）＞﹣ ，

∴ ﹣ ＞﹣ ，

即2x＜7，得x＜log27，

故不等式的解集為（﹣∞，log27）

【解析】（1）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可，（2）根據函數單調性的定義，利用定義法進行證明，（3）根據函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．