Question

【題目】如圖，、分別為橢圓的焦點，橢圓的右準線與軸交于點，若，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過、作互相垂直的兩直線分別與橢圓交于、、、四點，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I） 先確定A點坐標為（a2，0），利用，可得F2是AF1的中點，由此可求橢圓方程；（II）當直線MN與PQ中有一條與x軸垂直時，四邊形PMQN面積；當直線PQ，MN均與x軸不垂直時，設直線PQ、MN的方程與橢圓方程聯立，求得|PQ|，|MN|，表示出四邊形PMQN面積，再換元，即可求得四邊形PMQN面積的取值范圍．

（Ⅰ）由得，∴點坐標為；∵∴是的中點∴，∴橢圓方程為

（Ⅱ）當直線與之一與軸垂直時，四邊形面積；

當直線，均與軸不垂直時，不妨設，

聯立代入消去得

設，則，

∴，同理

∴四邊形面積

令，則，，易知是以為變量的增函數

所以當，時，，∴

綜上可知，，∴四邊形面積的取值范圍為