Question

【題目】在極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcosθ＝4，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ+2sinθ，以極點為坐標原點O，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，射線l'：y＝kx（x≥0，0＜k＜1）與曲線C交于O，M兩點．

（Ⅰ）寫出直線l的直角坐標方程以及曲線C的參數方程；

（Ⅱ）若射線l′與直線l交于點N，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線l的直角坐標方程，曲線C的參數方程.

【解析】

（Ⅰ）由直線l的極坐標方程能求出直線l的直角坐標方程；由曲線C的極坐標方程，求出曲線C的直角坐標方程，由此能求出曲線C的參數方程．

（Ⅱ）用極徑表示線段的長度，從而把比值問題轉化為極坐標中極徑的比值問題，再轉化為以極角為變量的三角函數求范圍問題.根據角的范圍求即可.

解：（Ⅰ）∵直線l的極坐標方程為ρcos＝4，

∴直線l的直角坐標方程為x＝4，

∵曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ+2sinθ，

∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．

∴曲線C的參數方程為，（α為參數）．

（Ⅱ）設M（ρ1，β），N（ρ2，β），則ρ1＝2cosβ+2sinβ，，

∴＝＝＝

＝＝++，

∴，

∴的取值范圍是（]．