【題目】已知函數
，
，設
.
（Ⅰ）若
在
處取得極值，且
，求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若
時函數有兩個不同的零點
、
.
①求
的取值范圍；②求證：
.
【答案】（1）在區間（0,1）上單調增；在區間（1,+
）上單調減.（2）①（
，0）②詳見解析
【解析】
試題（1）先確定參數：由
可得a=b-3. 由函數極值定義知
所以a=" -2,b=1" .再根據導函數求單調區間（2）①當
時，
，原題轉化為函數
與直線
有兩個交點，先研究函數圖像，再確定b的取值范圍是（，0）.
②
，由題意得
,所以
，因此須證
，構造函數
，即可證明
試題解析：（1）因為
，所以
,
由可得a=b-3.
又因為
在
處取得極值，
所以，
所以a=" -2,b=1" .
所以
，其定義域為（0，+）
令
得
，
當
（0,1）時，
，當（1,+）
，
所以函數h（x）在區間（0,1）上單調增；在區間（1,+）上單調減.
（2）當時，，其定義域為（0，+）.
①由
得
，記，則
,
所以在
單調減，在
單調增，
所以當
時取得最小值.
又
，所以
時
，而
時
,
所以b的取值范圍是（，0）.
②由題意得,
所以
,
所以，不妨設x1<x2,
要證
, 只需要證
.
即證，設
,
則
,
所以
,
所以函數
在（1，+）上單調增，而
，
所以
即
,
所以.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查某地區老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣的方法從該地區調查了500位老年人，結果如下：
性別 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附：
的觀測值
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（1）估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；
（2）在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下是否可認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某上市股票在30天內每股的交易價格P（元）與時間t（天）組成有序數對
，點落在如圖所示的兩條線段上.該股票在30天內（包括30天）的日交易量M（萬股）與時間t（天）的部分數據如下表所示：
第t天 | 6 | 13 | 20 | 27 |
M（萬股） | 34 | 27 | 20 | 13 |
（1）根據提供的圖象，寫出該股票每股交易價格P（元）與時間t（天）所滿足的函數關系式
______；
（2）根據表中數據，寫出日交易量M（萬股）與時間t（天）的一次函數關系式：
______；
（3）用y（萬元）表示該股票日交易額，寫出y關于t的函數關系式，并求在這30天內第幾天日交易額最大，最大值為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某輪船公司的一艘輪船每小時花費的燃料費與輪船航行速度的平方成正比，比例系數為
輪船的最大速度為15海里
小時
當船速為10海里小時，它的燃料費是每小時96元，其余航行運作費用（不論速度如何)總計是每小時150元假定運行過程中輪船以速度v勻速航行．
求k的值；
求該輪船航行100海里的總費用
燃料費
航行運作費用
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
、
分別為橢圓
的焦點，橢圓的右準線
與
軸交于
點，若
，且
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過、作互相垂直的兩直線分別與橢圓交于
、
、
、
四點，求四邊形
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知以點P為圓心的圓經過點A（－1，0）和B（3，4），線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝
.
（1）求直線CD的方程；
（2）求圓P的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，有四座城市
、
、
、
，其中在的正東方向，且與相距
，在的北偏東
方向，且與相距
；在的北偏東方向，且與相距
，一架飛機從城市出發以
的速度向城市飛行，飛行了
，接到命令改變航向，飛向城市，此時飛機距離城市有（ ）
A.B.
C.
D.
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