Question

設有一張邊長為48cm的正方形鐵皮 ，從其四個角各截去一個大小相同的小正方形 ，然后將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子 ，所得盒子的體積V是關于截去的小正方形的邊長x的函數 ．
（1）隨著x的變化 ，盒子體積V是如何變化的？
（2）截去的小正方形的邊長x為多少時 ，盒子的體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

（1）V = x ，定義域為0 ＜x＜24
（2）當截取的小正方形的邊長為8cm時 ，得到的盒子體積最大 ，且最大體積為8192

解 ：（1）有題意可得V關于x的函數解析式為
V = x ，
定義域為0 ＜x＜24 ，
 = －4 x = 12（x－8）（x－24），
當x∈（0 ，8）時體積V單調遞增 ，x∈（8 ，24）時體積V單調遞減 ；
（2）由（1）知 ，x = 8時 ，體積V有極大值 ，且唯一 ，那么x = 8時體積V有最大值 ，
最大值 =" V(8)" = 8192（）,
即當截取的小正方形的邊長為8cm時 ，得到的盒子體積最大 ，且最大體積為8192．