Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)，CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線(xiàn)，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.在滿(mǎn)足上述條件的情況下，當(dāng)∠CAB的大小變化時(shí)，圖形也隨著改變，但在這個(gè)變化過(guò)程中，有些線(xiàn)段總保持著相等的關(guān)系．

(1)連接圖中已標(biāo)明字母的某兩點(diǎn)，得到一條新線(xiàn)段與線(xiàn)段CE相等，并說(shuō)明理由；

(2)若CF＝CD，求sin F的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)AE＝CE.理由如下：連接AE，則AE＝CE.結(jié)合圓的直徑可知∠ADE＝90°，則AE＝CE；

(2)設(shè)CF＝x，則FA＝3x，FD＝2x，AD＝x.計(jì)算可得FE＝，則.

試題解析：

(1)連接AE，則AE＝CE.

∵∠ABE＝90°，

∴AE為直徑，連接DE.

則∠ADE＝90°，

又AD＝CD，

∴AE＝CE.

(2)設(shè)CF＝x，

則FA＝3x，FD＝2x，AD＝x.

∵FE為⊙O的切線(xiàn)，

∴AE⊥EF.

∴DE2＝AD·DF＝2x2，

即DE＝x.

FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2，

即FE＝x.

∴sinF＝＝＝.