Question

【題目】在數列中，已知，().

（1）證明數列是等比數列，并求出數列的通項公式；

（2）若(為非零常數)，問是否存在整數，使得對任意都有？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，； （2）存在；

【解析】

（1）根據退位相減得到，得到，得到答案.

（2），根據單調性得到恒成立，討論的奇偶性得到答案.

（1）由()①，得（）②，

①﹣②得，即（），（），

由得 ，

所以，，所以成立，

所以（），又，所以，

∴，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列 .

∴，∴數列的通項公式是.

（2）,，

要使恒成立，只需恒成立，

即恒成立，

當為奇數時，恒成立, 而的最小值為1，∴.

當為偶數時，,恒成立 而最大值為，∴，.

綜上所述，的取值范圍是，又為整數．

∴存在，使得對任意都有．