Question

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N是棱CD上異于端點C，D的任一點，則下列結論中，正確的個數有
（1）MN⊥AB；　　　　　　　 （2）若N為中點，則MN與AD所成角為45°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；　　 （4）存在點N，使得過MN的平面與AC垂直．

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：連接CM、DM，可證明出AB⊥平面CDM，從而MN⊥AB，得（1）正確；取AC中點E，連接EM、EN，利用三角形中位線定理證明出EN、NM所成的直角或銳角，就是異面直線MN、AD所成的角，再通過余弦定理，可以求出MN與AD所成角為45°，故（2）正確；根據（1）的正確結論：MN⊥AB，結合平面與平面垂直的判定定理，得到（3）正確；對于（4），若存在點N，使得過MN的平面與AC垂直，說明存在N的一個位置，使MN⊥AC．因此證明出“不論N在線段CD上的何處，都不可能有MN⊥AC”，從而說明不存在點N，使得過MN的平面與AC垂直．
解答：解：（1）連接CM、DM
∵正△ABC中，M為AB的中點
∴CM⊥AB
同理DM⊥AB，結合MC∩MD=M
∴AB⊥平面CDM，而MN⊆平面CDM
∴MN⊥AB，故（1）是正確的；
（2）取AC中點E，連接EM、EN
∵△ADC中，E、N分別是AC、CD的中點
∴EN∥AD，EN=AD．
∴EN、NM所成的直角或銳角，就是異面直線MN、AD所成的角
設正四面體棱長為2a，在△MCD中，CM=DM=
則Rt△MNC中CN==a
∴
在△MNE中，ME=EN=
∴
∴∠ENM=45°，即異面直線MN、AD所成的角是45°，故（2）正確；
（3）由（1）的證明知：AB⊥平面CDM
∵AB?平面ABN
∴平面ABN⊥平面CDM，故（3）正確；
（4）若有MN⊥AC，根據（1）的結論MN⊥AB，
因為AB、AC相交于A點，所以MN⊥平面ABC
∵△MCD中，CM=MD=，CD=2a
∴cos∠CMD=
可得∠CMD是銳角，說明點N在線段CD上從C到D運動過程中，
∠CMN的最大值是銳角，不可能是直角，
因為CM?平面ABC，CM與NM不能垂直，
以上結論與MN⊥平面ABC矛盾，
故不論N在線段CD上的何處，都不可能有MN⊥AC．
因此不存在點N，使得過MN的平面與AC垂直．
綜上所述，正確的命題為（1）（2）（3）
故選C
點評：本題以正四面體為例，著重考查了直線與平面垂直的判定、平面與平面垂直的判定和異面直線及其所成的角等知識點，屬于中檔題．