Question

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N，E分別是棱CD，BD上的任意點，則下列結論正確的個數有（　　）
（1）MN⊥AB；              （2）若N為中點，則MN與AD所成角為45°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；  （4）若E為中點，則幾何體E-BMN的體積為定值．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用線線垂直，線面垂直、面面垂直的位置關系的判定，異面直線夾角的定義、錐體體積公式逐一判斷正誤，得出正確的個數．

解答：解：①如圖①

連接MC，MD，由于M是正四面體ABCD棱AB的中點，所以MC⊥AB，MD⊥AB，AB⊥面MCD，MN?面MCD，
∴MN⊥AB． （1）正確．
②如圖 ②

設H為AC中點，
連接HN，MH，則HN∥AD，MH∥BC．
∠HNM即為MN與AD所成角，由（1）已證AB⊥面MCD，
得出AB⊥CD，同理得出AD⊥BC，
∴NH⊥MH，△NHM為等腰直角三角形，∠HNM=45°，
∴MN與AD所成角為45°．  （2）正確．
③由（1）已證AB⊥面MCD，AB?面ABN，∴平面CDM⊥平面ABN．  （3）正確．
④V _E-BMN=V _M-BEN，M到底面BCD的距離為定值，三角形MEN的面積隨N的變化而變化，幾何體E-BMN的體積不為定值．  （4）錯誤．
下列結論正確的個數有3個．
故選C．

點評：本題研究了正四面體 的部分性質，考查線線垂直，線面垂直、面面垂直的位置關系的判定，異面直線夾角的定義、錐體體積公式．