Question

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點，N是棱CD的中點，則下列結論中，正確的個數有（　　）
（1）MN⊥AB；            
（2）V_A-MCD=V_B-MCD；     
（3）平面CDM⊥平面ABN； 
（4）CM與AN是相交直線．

A．1 個

B．2 個

C．3 個

D．4個

Answer 1

分析：連接CM、DM，可證明出AB⊥平面CDM，從而MN⊥AB，得（1）正確；根據（1）中結論可得棱錐A-MCD與棱錐B-MCD均又三角形MCD為底面，且高均為AB的一半，代入棱錐體積公式可得 V_A-MCD=V_B-MCD；，故（2）正確；根據（1）的正確結論：MN⊥AB，結合平面與平面垂直的判定定理，得到（3）正確；對于（4），可根據異面直線判定定理得到CM與AN異面．

解答：解：（1）連接CM、DM
∵正△ABC中，M為AB的中點
∴CM⊥AB
同理DM⊥AB，結合MC∩MD=M
∴AB⊥平面CDM，而MN⊆平面CDM
∴MN⊥AB，故（1）是正確的；
（2）棱錐A-MCD與棱錐B-MCD的底面均為三角形MCD，
由（1）得AB⊥平面CDM，
且M為AB的中點，
則棱錐A-MCD與棱錐B-MCD的高AM=BM
故V_A-MCD=V_B-MCD；
故（2）正確；
（3）由（1）的證明知：AB⊥平面CDM
∵AB?平面ABN
∴平面ABN⊥平面CDM，故（3）正確；
（4）CM∩平面ACD=C
AN?平面ACD且C∉AN．
故CM與AN是異面直線
綜上所述，正確的命題為（1）（2）（3）
故選C

點評：本題以正四面體為例，著重考查了直線與平面垂直的判定、平面與平面垂直的判定和異面直線的判定等知識點，屬于中檔題．